DEPENDENCIA LINEAL Y VOLUMEN DE UN TETRAEDRO
Septiembre de 2011, Opción A, Ejercicio 4
Considera los puntos A( -1, k ,3), B (k +1,0,2), C (1,2,0) y D (2,0,1) .
a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes?
b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.
(Nota: Los datos en negrita son vectores)
Considera los puntos A( -1, k ,3), B (k +1,0,2), C (1,2,0) y D (2,0,1) .
a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes?
b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.
(Nota: Los datos en negrita son vectores)
a) ¿Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC, y CD sean linealmente dependientes?
Para este apartado tendremos en cuenta que para que tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante que forman debe valer 0 , o lo que es lo mismo, su producto mixto, expresado por el determinante que forman, debe ser igual a 0.
No obstante, al igualar el producto mixto de los tres vectores a 0, obtenemos una ecuación de segundo grado en la que no existe solución real, por lo cual, concluimos que ningún valor de K perteneciente a los números reales hace a los tres vectores linealmente dependientes.
b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.
La resolución del apartado b) es, simplemente, igualar la fórmula del volumen del tetraedro al valor que nos pide el enunciado. Como en esa fórmula aparece el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores, para hallar k contaremos con dos posibles supuestos: que el producto mixto sea positivo o negativo.
Así, planteamos dos ecuaciones de segundo grado para hallar k, de las que solo la segunda tiene solución.
Para este apartado tendremos en cuenta que para que tres vectores sean linealmente dependientes, el determinante que forman debe valer 0 , o lo que es lo mismo, su producto mixto, expresado por el determinante que forman, debe ser igual a 0.
No obstante, al igualar el producto mixto de los tres vectores a 0, obtenemos una ecuación de segundo grado en la que no existe solución real, por lo cual, concluimos que ningún valor de K perteneciente a los números reales hace a los tres vectores linealmente dependientes.
b) Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen 1.
La resolución del apartado b) es, simplemente, igualar la fórmula del volumen del tetraedro al valor que nos pide el enunciado. Como en esa fórmula aparece el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores, para hallar k contaremos con dos posibles supuestos: que el producto mixto sea positivo o negativo.
Así, planteamos dos ecuaciones de segundo grado para hallar k, de las que solo la segunda tiene solución.
Combinación lineal, normalización y perpendicularidad
Junio de 2005, Opción B, Ejercicio 4
Sean los vectores V1 = (0,1, 0), V2 =(2,1, -1) y V3=(2, 3, -l).
a) ¿Son los tres vectores dados linealmente dependientes ?
b) ¿Para qué valores de a el vector (4, a + 3, -2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores anteriores ?
c) Calcula un vector unitario y perpendicular a V1 y V2.
Sean los vectores V1 = (0,1, 0), V2 =(2,1, -1) y V3=(2, 3, -l).
a) ¿Son los tres vectores dados linealmente dependientes ?
b) ¿Para qué valores de a el vector (4, a + 3, -2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores anteriores ?
c) Calcula un vector unitario y perpendicular a V1 y V2.
a) ¿Son los tres vectores dados linealmente dependientes ?
La resolución de este apartado es sencilla, únicamente hay que operar el determinante que forman los tres vectores( o lo que es lo mismo, hacer su producto mixto). La condición para que sean linealmente dependientes es que este determinante dé como resultado 0. En este caso es así, por lo que confirmamos que son linealmente dependientes.
b) ¿Para qué valores de a el vector V4(4, a + 3, -2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores anteriores ?
Al ser V1,V2 y V3 linealmente dependientes, basta con que V4 sea combinación lineal de dos de ellos, para que podamos asegurar que es combinación lineal de los tres. De nuevo, recurrimos al determinante que forman dos de los tres vectores y V4. Para que V4 sea combinación lineal de V1,V2 y V3, (o lo que es lo mismo, para que los cuatro vectores sean linealmente dependientes) ese determinante debe valer 0. Por tanto, igualando el determinante a 0 obtendremos un valor de a para el que V4 será combinación lineal de los otros tres.
Al operar observamos que el determinante da 0 independientemente del valor de a, es decir, V4 es combinación lineal de V1,V2 y V3 para todos los valores de a.
c) Calcula un vector unitario y perpendicular a V1 y V2.
Primero hallamos un vector perpendicular a V1 y V2, para lo cual nos servimos del producto vectorial de ambos. Una vez tenemos un vector perpendicular a los dados, hay que normalizarlo, es decir, hallar su unitario dividiendo cada una de sus componentes por el módulo. Así, obtenemos dos soluciones posibles: U1 yU2
La resolución de este apartado es sencilla, únicamente hay que operar el determinante que forman los tres vectores( o lo que es lo mismo, hacer su producto mixto). La condición para que sean linealmente dependientes es que este determinante dé como resultado 0. En este caso es así, por lo que confirmamos que son linealmente dependientes.
b) ¿Para qué valores de a el vector V4(4, a + 3, -2) puede expresarse como combinación lineal de los vectores anteriores ?
Al ser V1,V2 y V3 linealmente dependientes, basta con que V4 sea combinación lineal de dos de ellos, para que podamos asegurar que es combinación lineal de los tres. De nuevo, recurrimos al determinante que forman dos de los tres vectores y V4. Para que V4 sea combinación lineal de V1,V2 y V3, (o lo que es lo mismo, para que los cuatro vectores sean linealmente dependientes) ese determinante debe valer 0. Por tanto, igualando el determinante a 0 obtendremos un valor de a para el que V4 será combinación lineal de los otros tres.
Al operar observamos que el determinante da 0 independientemente del valor de a, es decir, V4 es combinación lineal de V1,V2 y V3 para todos los valores de a.
c) Calcula un vector unitario y perpendicular a V1 y V2.
Primero hallamos un vector perpendicular a V1 y V2, para lo cual nos servimos del producto vectorial de ambos. Una vez tenemos un vector perpendicular a los dados, hay que normalizarlo, es decir, hallar su unitario dividiendo cada una de sus componentes por el módulo. Así, obtenemos dos soluciones posibles: U1 yU2