Ecuaciones de recta y Plano
Examen 2 de reserva de 2007, Opción A, Ejercicio 2
Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1,0,3), B(2,-1,1) y C(3,2,-3).
a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.
c) Calcula las coordenadas del vértice D.
Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(-1,0,3), B(2,-1,1) y C(3,2,-3).
a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.
c) Calcula las coordenadas del vértice D.
a) Halla la ecuación del plano que contiene al paralelogramo.
Este apartado es sencillo, pues para hallar un plano solo necesitamos tres puntos coplanarios que determinen dos vectores y un punto. Con ellos podemos plantear las ecuaciones paramétricas del plano. Además, una vez tenemos dos vectores coplanarios, podemos, haciendo su productor vectorial, hallar un vector normal al plano. Las componentes de ese vector son los valores de A, B y C en la ecuación general del plano:
Ax+By+Cz+D=0
Para hallar D conociendo A, B,C y un punto del plano basta con sustituir los valores de x, y,z de dicho punto en la ecuación y operar.
b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.
En este caso se nos dan también todos los elementos necesarios para hallar la recta que nos piden, a saber, un punto y un vector. Con ellos podemos hallar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua, así como la implícita (a partir de la ecuación continua).
Este apartado es sencillo, pues para hallar un plano solo necesitamos tres puntos coplanarios que determinen dos vectores y un punto. Con ellos podemos plantear las ecuaciones paramétricas del plano. Además, una vez tenemos dos vectores coplanarios, podemos, haciendo su productor vectorial, hallar un vector normal al plano. Las componentes de ese vector son los valores de A, B y C en la ecuación general del plano:
Ax+By+Cz+D=0
Para hallar D conociendo A, B,C y un punto del plano basta con sustituir los valores de x, y,z de dicho punto en la ecuación y operar.
b) Halla la ecuación de la recta que contiene a la diagonal AC del paralelogramo.
En este caso se nos dan también todos los elementos necesarios para hallar la recta que nos piden, a saber, un punto y un vector. Con ellos podemos hallar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua, así como la implícita (a partir de la ecuación continua).
c) Calcula las coordenadas del vértice D.
Para resolver el apartado c) nos basta con saber que el punto medio de ambas diagonales del paralelogramo es el mismo. Así, procedemos a hallar el punto medio entre los vértices A y C, y con eso conocemos ya M,que es también punto medio entre B y D.
Conociendo B y M, podemos hallar fácilmente D a través del procedimiento para calcular el punto medio de un segmento.
Para resolver el apartado c) nos basta con saber que el punto medio de ambas diagonales del paralelogramo es el mismo. Así, procedemos a hallar el punto medio entre los vértices A y C, y con eso conocemos ya M,que es también punto medio entre B y D.
Conociendo B y M, podemos hallar fácilmente D a través del procedimiento para calcular el punto medio de un segmento.