ángulo entre dos rectas
Junio de 2010, Opción A, Ejercicio 4
Considera las ecuaciones de las rectas r y s:
a) Determina su punto de corte.
b) Halla el ángulo que forma r y s.
Considera las ecuaciones de las rectas r y s:
a) Determina su punto de corte.
b) Halla el ángulo que forma r y s.
a) Determina su punto de corte.
Resolveremos este apartado convirtiendo la ecuación de la recta r en ecuación implícita , teniendo así un sistema de cuatro ecuaciones para resolver las tres incógnitas. Dos de esas cuatro ecuaciones son la misma, por lo que se nos queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que podemos resolver por sustitución.
b) Halla el ángulo que forma r y s.
Para este apartado será necesario hallar el vector director de ambas rectas. En la recta r ya viene dado por los denominadores de la ecuación general de la recta, mientras que en la recta s hay que hallar lo haciendo el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de los planos que componen la ecuación implícita de la recta.
Una vez tenemos los vectores directores, despejamos el valor del ángulo alfa en la definición del producto escalar, obteniendo finalmente el ángulo que forman ambos vectores y por ende de las rectas r y s, ángulo que obtenemos en forma de arco coseno.
Resolveremos este apartado convirtiendo la ecuación de la recta r en ecuación implícita , teniendo así un sistema de cuatro ecuaciones para resolver las tres incógnitas. Dos de esas cuatro ecuaciones son la misma, por lo que se nos queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que podemos resolver por sustitución.
b) Halla el ángulo que forma r y s.
Para este apartado será necesario hallar el vector director de ambas rectas. En la recta r ya viene dado por los denominadores de la ecuación general de la recta, mientras que en la recta s hay que hallar lo haciendo el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de los planos que componen la ecuación implícita de la recta.
Una vez tenemos los vectores directores, despejamos el valor del ángulo alfa en la definición del producto escalar, obteniendo finalmente el ángulo que forman ambos vectores y por ende de las rectas r y s, ángulo que obtenemos en forma de arco coseno.
Perpendicular Común a dos rectas y distancias entre rectas
Reserva de 2011, Opción B, ejercicio 4
Dadas dos rectas:
r:(x+7)/2=(y-7)/(-1)=z , y la recta s dada en la imagen:
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Dadas dos rectas:
r:(x+7)/2=(y-7)/(-1)=z , y la recta s dada en la imagen:
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
b) Calcula la distancia entre r y s.
a) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a ambas.
Para hallar la perpendicular común de las rectas dadas pondremos ambas en forma paramétrica (en la recta r eso se hace despejando cada una de las incógnitas de la forma que aparece en la resolución). Una vez hecho esto, obtenemos el vector director de cada recta y un punto genérico de cada una.
Con los puntos genéricos hacemos un vector, que debe ser perpendicular a cada uno de los vectores directores, de forma que el producto escalar de este nuevo vector por cada uno de los directores será cero, permitiéndonos así hacer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y despejar las incógnitas en los puntos genéricos de cada recta.
Así, obtenemos dos puntos y un vector: con uno de estos puntos y el vector podemos definir la recta perpendicular común a r y s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Para ello aplicamos el la fórmula que aparece en la resolución, que es la distancia de un punto a una recta. Al ser ambas rectas paralelas, la distancia de cada uno de sus puntos a la otra recta será constante, y equivaldrá a la distancia entre ambas.
Esta distancia equivaldrá al módulo del vector formado por los dos puntos pertenecientes a r y s y a la perpendicular común, Ps y Pr, que hemos hallado en el apartado a).
Para hallar la perpendicular común de las rectas dadas pondremos ambas en forma paramétrica (en la recta r eso se hace despejando cada una de las incógnitas de la forma que aparece en la resolución). Una vez hecho esto, obtenemos el vector director de cada recta y un punto genérico de cada una.
Con los puntos genéricos hacemos un vector, que debe ser perpendicular a cada uno de los vectores directores, de forma que el producto escalar de este nuevo vector por cada uno de los directores será cero, permitiéndonos así hacer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y despejar las incógnitas en los puntos genéricos de cada recta.
Así, obtenemos dos puntos y un vector: con uno de estos puntos y el vector podemos definir la recta perpendicular común a r y s.
b) Calcula la distancia entre r y s.
Para ello aplicamos el la fórmula que aparece en la resolución, que es la distancia de un punto a una recta. Al ser ambas rectas paralelas, la distancia de cada uno de sus puntos a la otra recta será constante, y equivaldrá a la distancia entre ambas.
Esta distancia equivaldrá al módulo del vector formado por los dos puntos pertenecientes a r y s y a la perpendicular común, Ps y Pr, que hemos hallado en el apartado a).
Proyección ortogonal y punto simétrico
Septiembre de 2012, Opción B, Ejercicio 4
Halla el punto simétrico de P (2,1, 5) respecto de la recta r, dada en la imagen
Halla el punto simétrico de P (2,1, 5) respecto de la recta r, dada en la imagen
Aunque este ejercicio analiza cómo hallar el simétrico respecto a una recta, en la explicación indicaremos cómo hallarlo respecto a un plano.
En primer lugar es necesario hallar la proyección ortogonal del punto sobre la recta o el plano en cuestión, para lo que necesitamos de una recta que contenga a P y además sea perpendicular a la recta o el plano dados.
Para construir esa recta necesitamos como mínimo dos puntos, o un punto y un vector.
En el caso de que nos pidieran la perpendicular a un plano, ese vector será el vector normal del plano, y el punto, será P. Como en este caso trabajamos con una recta, ese vector será el que forman P y su proyección ortogonal. La proyección ortogonal de P, Pr, será un punto de la recta dada, para hallarlo tomamos un genérico(a partir de la ecuación paramétrica de r) de r y con él calculamos el vector director de la perpendicular a r, que quedará en función de lambda.
El producto escalar de nuestro vector por el director de r será 0, al ser ambos perpendiculares, así podemos establecer una ecuación de la que despejar lambda, pudiendo así establecer la proyección ortogonal de P , Pr, así como el vector director de la perpendicular a r, s.
Una vez tengamos la recta, solo debemos saber que el punto que buscamos pertenece a s, y que el vector que une P con su simétrico (un genérico de la nueva recta) es igual a dos veces el vector que une P con su proyección ortogonal.
En primer lugar es necesario hallar la proyección ortogonal del punto sobre la recta o el plano en cuestión, para lo que necesitamos de una recta que contenga a P y además sea perpendicular a la recta o el plano dados.
Para construir esa recta necesitamos como mínimo dos puntos, o un punto y un vector.
En el caso de que nos pidieran la perpendicular a un plano, ese vector será el vector normal del plano, y el punto, será P. Como en este caso trabajamos con una recta, ese vector será el que forman P y su proyección ortogonal. La proyección ortogonal de P, Pr, será un punto de la recta dada, para hallarlo tomamos un genérico(a partir de la ecuación paramétrica de r) de r y con él calculamos el vector director de la perpendicular a r, que quedará en función de lambda.
El producto escalar de nuestro vector por el director de r será 0, al ser ambos perpendiculares, así podemos establecer una ecuación de la que despejar lambda, pudiendo así establecer la proyección ortogonal de P , Pr, así como el vector director de la perpendicular a r, s.
Una vez tengamos la recta, solo debemos saber que el punto que buscamos pertenece a s, y que el vector que une P con su simétrico (un genérico de la nueva recta) es igual a dos veces el vector que une P con su proyección ortogonal.
Punto que equidista de dos planos
Considera los planos π1 y π2 dados respectivamente por las ecuaciones
π1: (x,y,z) = (−2,0,7) + λ(1,−2,0) + µ(0,1,−1) π2: 2x + y − z + 5 = 0
Determina los puntos de la recta r definida por x = y + 1 = (z – 1)/(-3) que equidistan de π1 y π2.
π1: (x,y,z) = (−2,0,7) + λ(1,−2,0) + µ(0,1,−1) π2: 2x + y − z + 5 = 0
Determina los puntos de la recta r definida por x = y + 1 = (z – 1)/(-3) que equidistan de π1 y π2.
La resolución de este problema es muy sencilla. Lo único que hay que hacer es poner la recta en forma paramétrica y sacar de ella un punto genérico Pr. Además, necesitaremos que ambos planos estén en forma general (en el caso de plano π1 plano habrá que hallar el vector normal A, B,C, multiplicando vectorialmente los vectores definidos por lambda y mu, y despejar D).
Hecho esto, basta aplicar la fórmula de la distancia entre un punto (Pr), y un plano para ambos planos. Como Pr es un pnto genérico en función de una constante, omega, obtendremos así una ecuación que nos permitirá hallar los posibles valores de omega.
Cabe destacar que la fórmula prevé el uso de valores absolutos, eso significa que para cualquier ecuación basada en expresiones obtenidas a partir de la fórmula de la distancia de un punto a un plano permitirá dos soluciones: una cuando la expresión contenida entre las barras de valor absoluto sea negativa, y otra cuando esta sea positiva.
Encontramos, por tanto, dos puntos de la recta dada que equidistan de los planos.
Hecho esto, basta aplicar la fórmula de la distancia entre un punto (Pr), y un plano para ambos planos. Como Pr es un pnto genérico en función de una constante, omega, obtendremos así una ecuación que nos permitirá hallar los posibles valores de omega.
Cabe destacar que la fórmula prevé el uso de valores absolutos, eso significa que para cualquier ecuación basada en expresiones obtenidas a partir de la fórmula de la distancia de un punto a un plano permitirá dos soluciones: una cuando la expresión contenida entre las barras de valor absoluto sea negativa, y otra cuando esta sea positiva.
Encontramos, por tanto, dos puntos de la recta dada que equidistan de los planos.
Puntos alineados
Reserva de 2004, Opción B, Ejercicio 4
Considera los puntos P (6, -1, 1-0), Q (0, 2, 2) y R, que es el punto de intersección del plano y la recta dados en las imágenes
Determina l , sabiendo que los puntos P, Q y R están alineados.
Considera los puntos P (6, -1, 1-0), Q (0, 2, 2) y R, que es el punto de intersección del plano y la recta dados en las imágenes
Determina l , sabiendo que los puntos P, Q y R están alineados.
Para resolver este problema nos limitaremos a plantear un sistema con dos incógnitas, una de las cuales es lambda, el valor que buscamos.
En primer lugar, dados los puntos P y Q, podemos hallar las ecuaciones paramétricas de la recta a la que pertenece el punto que buscamos. A partir de ahí, podemos establecer un punto genérico de la recta, que sustituiremos en el sistema formado por las ecuaciones del plano y la recta r. Así, obtenemos un sistema de tres ecuaciones con el que hallar dos incógnitas, y fácilmente podremos despejar el valor de lambda, que en este caso es 0.
En primer lugar, dados los puntos P y Q, podemos hallar las ecuaciones paramétricas de la recta a la que pertenece el punto que buscamos. A partir de ahí, podemos establecer un punto genérico de la recta, que sustituiremos en el sistema formado por las ecuaciones del plano y la recta r. Así, obtenemos un sistema de tres ecuaciones con el que hallar dos incógnitas, y fácilmente podremos despejar el valor de lambda, que en este caso es 0.
Área de un triángulo
Reserva de 2006, Opción B, Ejercicio 4
Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano p de ecuación x+y+z=1 y forme con los ejes de coordenadas un triángulo
cuyo área sea la indicada en la imagen:
Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano p de ecuación x+y+z=1 y forme con los ejes de coordenadas un triángulo
cuyo área sea la indicada en la imagen:
Para resolver este problema debemos en primer lugar tener en cuanta que tratamos de hallar un plano cuyo vector normal normal sea idéntico al del dado, de manera que ambos planos sean paralelos. Hecho esto, la única incógnita del problema es el valor D.
A su vez, podemos imaginar como será el triángulo que producirá el plano al cortar a los ejes, así como hallar los puntos de corte con estos en función de D.
Hecho esto, teniendo las coordenadas de los vértices del triángulo en función de D podemos aplicar la fórmula del área del triángulo, donde el valor de esta es igual a la mitad del valor absoluto del módulo del producto vectorial de los vectores que definen al triángulo.
A su vez, podemos imaginar como será el triángulo que producirá el plano al cortar a los ejes, así como hallar los puntos de corte con estos en función de D.
Hecho esto, teniendo las coordenadas de los vértices del triángulo en función de D podemos aplicar la fórmula del área del triángulo, donde el valor de esta es igual a la mitad del valor absoluto del módulo del producto vectorial de los vectores que definen al triángulo.